Niedrigrang-Korrektur der Schurkomplement-Inversen für das Oseen Problem

Betreuer/in:            Sabine Le Borne           
Dekanat/Institut:   Elektrotechnik, Informatik, Mathematik / Mathematik (E-10)           

E-Mail:   leborne@tuhh.de

Motivation: Strömungsprobleme werden durch die Navier-Stokes Gleichungen modelliert, und deren numerische Lösung (Diskretisierung und nichtlinearer Löser) führt auf das sogenannte Oseen Problem. Dieses ist ein Gleichungssystem mit einer großen, schwachbesetzten, indefiniten und nichtsymmetrischen Matrix der Art [A B; B’ 0]. Viele Lösungsverfahren basieren auf einer Matrixzerlegung, die als Teilproblem ein sogenanntes Schurkomplementsystem Sx=b mit der Schurkomplementmatrix S=B’ A^{-1} B lösen müssen.
Es sollen untersucht werden, ob (relativ einfach zu berechnende bzw. anzuwendende) Approximationen der Schurkomplementinversen S^{-1}_{app} durch Niedrigrangkorrekturen effizient verbessert werden können.

Methoden: In der Literatur existieren diverse Ansätze zur Konstruktion von Approximationen des Schurkomplements bzw. dessen Inversen. Sei S_i eine solche Approximation der Inversen. Dann besteht die Hoffnung, dass S*S_i nahe der Einheitsmatrix I ist in dem Sinne, dass I-S*S_i von kleinem Rang ist bzw. schnell abfallende Singulärwerte besitzt. Also existieren Rechtecksmatrizen U,V, die durch UV’ eine Niedrigrangapproximation von I-S*S_i liefern. Aus UV’ approx I-S*S_i schließt man S*S_i approx I-UV’ bzw. S^{-1} approx S_i (I-UV’)^{-1}. Letztere Inverse lässt sich effizient über die Shermann-Morrison-Woodbury Formel umformen zu S^{-1} approx S_i (I+XY’) mit Niedrigrangmatrizen X, Y.
In diesem Projekt soll zum einen untersucht werden, für welche Approximationen S_i sich die Hoffnung bestätigt, dass I-S*S_i schnell abfallende Singulärwerte besitzt. Zum anderen sollen unterschiedliche numerische Verfahren entwickelt
werden, um die resultierenden Rechtecksmatrizen U, V zu bestimmen. Ansätze hierzu bieten randomisierte Faktorisierungen, adaptive Kreuzapproximation (ACA) sowie Arnoldi Verfahren. Die Ansätze sollen in umfangreichen numerische Tests auf verschiedene Testprobleme und Approximation der Schurkomplementinversen angewendet und
somit verglichen werden.

Projektziele und Arbeitspakete:
– Literaturrecherche zum Oseen Problem und Schurkomplementapproximationen
– Einarbeitung in Programmpakete zur Generierung von Modellproblemen
– Implementierung (C/C++) von numerischen Verfahren zur Bestimmung von Niedrigrangapproximationen U, V bei gegebener Approximation S_i – Verwendung des neuen Präkonditionerers S_i (I+XY’) zur iterativen Lösung des
Schurkomplementproblems
– Umfangreiche Tests und Dokumentation numerischer Ergebnisse im Hinblick auf Konvergenzraten, Rechen- und Speicheraufwand;

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